Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），抛物...

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），抛物线x2=2py上的点（2，1）处的切线经过椭圆C的下顶点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F1的动直线l交椭圆C于A、B两点（异于长轴端点）．请问是否存在实常数λ，使得|F2A-F2B|=λF1A•F2B恒成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，求△ABF2（F2为椭圆C的右焦点）内切圆面积的取值范围．

Answer 1

解：（1）点（2，1）代入x2=2py，可得p=1，∴x2=2y，即y=12x2，
∴y′=x，
∴抛物线x2=2py上的点（2，1）处的切线斜率为2，
∴抛物线x2=2py上的点（2，1）处的切线方程为y-1=2（x-2），即y=2x-1，
令x=0得y=-1，
∴b=1，
∴a=b2+1=2，
∴椭圆C的标准方程为x22+y2=1；
（2）记A（x1，y1）、B（x2，y2），设l的方程为x=my-1，
代入椭圆方程，整理可得（m2+2）y2-2my-1=0，
∴y1+y2=2mm2+2，y1y2=-1m2+2，
∴|F2A-F2B|=|BA|=(m2+1)(y1-y2)2=22(m2+1)m2+2，
∵F1A=（x1+1，y1）=（my1，y1），F1B=（x2+1，y2）=（my2，y2），
∴F1A•F2B=（m2+1）y1y2=-m2+1m2+2，
∴存在实常数λ=-22，使得|F1A-F2B|=λF1A•F2B恒成立；
（3）设△ABF2（F2为椭圆C的右焦点）内切圆的半径为r，则
S△ABF2=12•4ar=22r=12|F1F2||y1-y2|=|y1-y2|
∴r=122|y1-y2|
∴S圆=π8（y1-y2）2=π(m2+1)(m2+2)2
设m2+1=t（t≥1），∴S圆=πt+1t+2
∵t≥1，∴t+1t+2≥4（t=1，即m=0时取等号），
∴0＜S圆=πt+1t+2≤π4，
∴△ABF2内切圆面积的取值范围是（0，π4]．