Question

设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F...

设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），以F2为圆心，b-c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，已知|PT|的最小值不小于32（a-c）． （Ⅰ）求椭圆的离心率e的取值范围； （Ⅱ）设O为原点，椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长S的最大值．

Answer 1

解：（I）由题意|PT|=|PF2|2-(b-c)2，
当且仅当|PF2|取最小值时，|PT|取最小值，
∵|PF2|min=a-c，
∴(a-c)2-(b-c)2≥32(a-c)，
即0＜b-ca-c≤12，解得35≤e＜22．
∴离心率e的取值范围是[35，22）．
（II）∵Q（1，0），直线l的方程为y=k（x-1），
联立方程组y=k(x-1)x2a2+y2=1，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=2a2k2a2k2+1，x1x2=a2k2-a2a2k2+1，
∴y1y2=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=k2(1-a2)a2k2+1，
∴x1x2+y1y2=k2-a2a2k2+1，
∵OA⊥OB，∴OA•OB=0，
∴x1x2+y1y2=0，即k2=a2，
∴k=a，直线方程为ax-y-a=0，
∴圆心到F2（c，0）到直线l的距离d=|ac-a|a2+1，
由dS2=a，知S=2da=2|c-1|a2+1=2c2-2c+1c2+2=21-42c+1+92c+1-2，
∵35≤c＜22，∴34≤c＜1，
∴52≤2c+1＜3，
∴S∈(0，24141]，
故S的最大值为24141．