已知函数f(x)=ax-ex(a>0).(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)在[m,m+l]上的最大值;(Ⅱ)当1≤a≤e+1时,

已知函数f(x)=ax-ex(a>0).(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)在[m,m+l]上的最大值;(Ⅱ)当1≤a≤e+1时,求证:f(x)≤x.... 已知函数f(x)=ax-ex(a>0).(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)在[m,m+l]上的最大值;(Ⅱ)当1≤a≤e+1时,求证:f(x)≤x. 展开
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倪妮妮D13AP53
2015-01-06 · 超过55用户采纳过TA的回答
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(Ⅰ)a=1时,f(x)=x-ex
∴f′(x)=1-ex
令f′(x)>0,解得:x<0,
令f′(x)<0,解得:x>0,
∴f(x)在(-∞,0)递增,在(0,+∞)递减,
m≥0时,f(x)在[m,m+1]递减,f(x)max=f(m)=m-em
m≤-1时,f(x)在[m,m+1]递增,f(x)max=f(m+1)=m+1-em+1
-1<m<0时,f(x)在[m,0]递增,在[0,m+1]递减,f(x)max=f(0)=-1,
综上f(x)max=
m+1?em+1,  m≤?1
?1,                    ?1<m<0
m?em,            m≥0

(Ⅱ)令g(a)=x-f(x)=-ax+x+ex
只需证明g(a)≥0在1≤a≤e+1时恒成立,
g(1)=-x+x+ex=ex>0①,
g(1+e)=-x(1+e)+x+ex=ex-ex,
设h(x)=ex-ex,则h′(x)=ex-e,
x<1时,h′(x)<0,x>1时,h′(x)>0,
∴h(x)在(-∞,1)递减,在(1,+∞)递增,
∴h(x)≥h(1)=e-e=0,即g(1+e)≥0②,
由①②得,g(a)≥0在a∈[1,e+1]时恒成立,
故当1≤a≤e+1时,f(x)≤x.
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