Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，0）（a≠0），圆C的圆心在直线y=-4x上，并且与直线l：x+y-1=0相切于

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，0）（a≠0），圆C的圆心在直线y=-4x上，并且与直线l：x+y-1=0相切于点P（3，-2）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若动点M满足|MA|=2|MO|，求点M的轨迹方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得|CM|的取值范围是[1，9]，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设所求圆的圆心坐标为C（a，b），半径为r．
因为圆心C（a，b）在直线y=-4x上，
所以b=-4a，即圆心C（a，-4a）．
因为圆C与直线l：x+y-1=0相切于点P（3，-2），
所以圆心C（a，-4a）到直线l的距离d=|PC|．
即 

|a?4a?1|

2

＝

(a?3)2+(?4a+2)2

．
整理得：a²-2a+1=0．
解得：a=1．
所以圆C的方程为（x-1）²+（y+4）²=8…（4分）
（Ⅱ）设M（x，y）．
因为|MA|=2|MO|，所以

(x?a)2+y2

＝2

x2+y2

．
整理得 (x+

a

3

)2+y2＝

4a2

9

．
即点M的轨迹是以D(?

a

3

，0)为圆心，r＝

2

3

|a|为半径的圆D．…（8分）
（Ⅲ）存在实数a，使得|CM|的取值范围是[1，9]．
（1）当圆D与圆C外离时，依题意可得：

|CD|+r＝9 |CD|?r＝1.

，即

|CD|＝5 r＝4.

．
由|CD|=5解得a=6或-12；由r=4解得a=6或-6，
所以a=6．
（2）当圆C内含于圆D时，依题意可得：

r+|CD|＝9 r?|CD|＝1.

即

|CD|＝4 r＝5.

由|CD|＝

(1+ 1 3 a)2+16

＝4，解得a=-3．
此时r＝

2

3

|?3|＝2，与r=5矛盾．
综上所述，存在实数a=6，使得|CM|的取值范围是[1，9]．…（13分）