Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x 2 +ax．（1）当a=-2时，求函数f（x）的解

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x 2 +ax．（1）当a=-2时，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为单调递减函数；①直接写出a的范围（不必证明）；②若对任意实数m，f（m-1）+f（m 2 +t）＜0恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）当x＜0时，-x＞0，又因为f（x）为奇函数， 所以f（x）=-f（-x）=-（-x 2 +2x）=x 2 -2x，  所以f（x）= - x 2 -2x，x≥0 x 2 -2x，x＜0 ． （2）①当a≤0时，对称轴 x= a 2 ≤0 ，所以f（x）=-x 2 +ax在[0，+∞）上单调递减， 由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减， 所以a≤0时，f（x）在R上为单调递减函数， 当a＞0时，f（x）在（0， a 2 ）递增，在（ a 2 ，+∞）上递减，不合题意， 所以函数f（x）为单调减函数时，a的范围为a≤0． ②f（m-1）+f（m 2 +t）＜0，∴f（m-1）＜-f（m 2 +t）， 又f（x）是奇函数，∴f（m-1）＜f（-t-m 2 ）， 又因为f（x）为R上的单调递减函数，所以m-1＞-t-m 2 恒成立， 所以 t＞- m 2 -m+1=-(m+ 1 2 ) 2 + 5 4 恒成立，所以 t＞ 5 4 ． 即实数t的范围为：（ 5 4 ，+∞）．