已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≧0时,f(x)=-x²+ax
(1)当a=-2时,求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)为单调递减函数;①直接写出a的范围(不必证明);②若对任意实数m,f(m-1)+f(m²+t0<...
(1)当a=-2时,求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)为单调递减函数;
①直接写出a的范围(不必证明);
②若对任意实数m,f(m-1)+f(m²+t0<0恒成立,求实数t的取值范围。 展开
(2)若函数f(x)为单调递减函数;
①直接写出a的范围(不必证明);
②若对任意实数m,f(m-1)+f(m²+t0<0恒成立,求实数t的取值范围。 展开
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(1)当x<0时,﹣x>0,又因为f(x)为奇函数,
所以f(x)=f(﹣x)=﹣(-x²-2x)=)=x²-2x
所以f(x)=①x²-2x x<0
②-x²-2x x≥0
(2)①当a≤0时,对称轴x=a/2≤0,所以f(x)-x²+ax在[0,正无穷)上单调递增,
由于奇函数关于原点对称的去区间上单调性相等,所以f(x)在(负无穷,0)上单调递减。
有在(负无穷,0)上f(x)>0,在(0,正无穷)上f(x)<0
所以当a≤0时,f(x)为R上的单调递减函数
当a>0时f(x)在(0,a/2)上递增,在(a/2,正无穷)上递减,不合题意。
所以函数f(x)为单调函数时,a的范围为a≤0
②因为f(m-1)+f(m²+t)<0,∴f(m-1)<-f(m²+t)
所以f(x)是奇函数∴f(m-1)<f(-t-m²)
又因为f(x)为R上的单调递增函数,∴m-1>-t-m²恒成立
所以t>-m²-m+1=-(m+1/2)²+5/4恒成立
所以t>5/4
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所以f(x)=f(﹣x)=﹣(-x²-2x)=)=x²-2x
所以f(x)=①x²-2x x<0
②-x²-2x x≥0
(2)①当a≤0时,对称轴x=a/2≤0,所以f(x)-x²+ax在[0,正无穷)上单调递增,
由于奇函数关于原点对称的去区间上单调性相等,所以f(x)在(负无穷,0)上单调递减。
有在(负无穷,0)上f(x)>0,在(0,正无穷)上f(x)<0
所以当a≤0时,f(x)为R上的单调递减函数
当a>0时f(x)在(0,a/2)上递增,在(a/2,正无穷)上递减,不合题意。
所以函数f(x)为单调函数时,a的范围为a≤0
②因为f(m-1)+f(m²+t)<0,∴f(m-1)<-f(m²+t)
所以f(x)是奇函数∴f(m-1)<f(-t-m²)
又因为f(x)为R上的单调递增函数,∴m-1>-t-m²恒成立
所以t>-m²-m+1=-(m+1/2)²+5/4恒成立
所以t>5/4
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1)a=-2
x>=0, f(x)=-x^2-2x
x<0时,有-x>0, 由奇函数性质,有f(x)=-f(-x)=-(-x^2+2x)=x^2-2x
2) x>=0时,f(x)=-(x-a/2)^2+a^2/4
1) f(x)为单调递减,则在x>0时也单调递减,因此有a<=0
2) f(m-1)+f(m^2+t)<0
即f(m^2+t)<-f(m-1)
f(m^2+t)<f(1-m)
由单调递减,得:m^2+t>1-m
故t>1-m-m^2=-(m+1/2)^2+5/4=g(m)
g(m)的最大值为5/4
因此有t>5/4
x>=0, f(x)=-x^2-2x
x<0时,有-x>0, 由奇函数性质,有f(x)=-f(-x)=-(-x^2+2x)=x^2-2x
2) x>=0时,f(x)=-(x-a/2)^2+a^2/4
1) f(x)为单调递减,则在x>0时也单调递减,因此有a<=0
2) f(m-1)+f(m^2+t)<0
即f(m^2+t)<-f(m-1)
f(m^2+t)<f(1-m)
由单调递减,得:m^2+t>1-m
故t>1-m-m^2=-(m+1/2)^2+5/4=g(m)
g(m)的最大值为5/4
因此有t>5/4
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(1)当x≤0时f(x)=x²-2x,当x≧0时,f(x)=-x²-2x(奇函数:f(-x)=-f(x))
(2)①a<0
②t>1
(2)①a<0
②t>1
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