Question

已知函数f（x）=x（x-6）+alnx在x∈（2，+∞）上不具有单调性．（I）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f'（x）

已知函数f（x）=x（x-6）+alnx在x∈（2，+∞）上不具有单调性．（I）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f'（x）是f（x）的导函数，设g(x)＝f′(x)+6?2x2，试证明：对任意两个不相等正数x1、x2，不等式|g(x1)?g(x2)|＞3827|x1?x2|恒成立．

Answer 1

（I）f′(x)＝2x?6+

a

x

＝

2x2?6x+a

x

，
∵f（x）在x∈（2，+∞）上不具有单调性，∴在x∈（2，+∞）上f'（x）有正也有负也有0，
即二次函数y=2x²-6x+a在x∈（2，+∞）上函数值有负数．
∵y=2x²-6x+a是对称轴是x＝

3

2

，开口向上的抛物线，
∴2?2²-6?2+a＜0的实数a的取值范围（-∞，4）
故答案为（-∞，4）．

（II）由（I）g(x)＝f′(x)?

2

x2

+6＝2x+

a

x

?

2

x2

(x＞0)，
∵a＜4，∴g′(x)＝2?

a

x2

+

4

x3

＞2?

4

x2

+

4

x3

＝

2x3?4x+4

x3

，（8分）
设h(x)＝2?

4

x2

+

4

x3

，h′(x)＝

8

x3

?

12

x4

＝

4(2x?3)

x4

，h（x）在(0，

3

2

)是减函数，在(

3

2

，+∞)增函数，
当x＝

3

2

时，h（x）取最小值

38

27

∴从而g'（x）＞

38

27

，∴(g(x)?

38

27

x)′＞0，
函数y＝g(x)?

38

27

x是增函数，x₁、x₂是两个不相等正数，
不妨设x₁＜x₂，则g(x2)?

38

27

x2＞g(x1)?

推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询

广告 您可能关注的内容 大专数学知识点总结，家长必看! 新整理的大专数学知识点总结，知识点大全汇总很全面，务必收藏，烂熟于心1分不扣，立即下载大专数学知识点总结使用吧! www.163doc.com广告 学历网毕业证书查询-立即查询 pdx40.mzolqbq.cn 查看更多

其他类似问题

• 2011-04-29 已知函数f(x)=x(x-6)+alnx在x>2上不具有单调...
• 2011-05-08 已知函数f(x)=x(x-10)+alnx(a∈R)（I）若...
• 2015-02-04 已知函数 f(x)=2x+ 2 x +al...
• 2014-10-29 已知函数f（x）=x2-2alnx（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）... 1
• 2018-01-24 已知函数f(x)=4x的平方-kx-8在[5,20]上具有单...
• 2015-02-06 已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，...
• 2013-01-16 已知函数f(x)=x²-2ax+2,g(x)=x(... 2
• 2015-02-10 已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx（a≠0，... 1

更多类似问题 >

为你推荐：