Question

设公差不为零的等差数列{an}的各项均为整数，Sn为其前n项和，且满足a2a3a1＝?54，S7＝7．（1）求数列{an}

设公差不为零的等差数列{an}的各项均为整数，Sn为其前n项和，且满足a2a3a1＝?54，S7＝7．（1）求数列{an}的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得am+1am+2am为数列{an}中的项．

Answer 1

（1）因为{a_n}是等差数列，且S₇=7，而S7＝

7(a1+a7)

2

＝7a4，于是a₄=1．…（2分）
设{a_n}的公差为d，则由

a2a3

a1

＝?

5

4

得

(1?2d)(1?d)

1?3d

＝?

5

4

，
化简得8d²-27d+9=0，即（d-3）（8d-3）=0，解得d=3或d＝

3

8

，
但若d＝

3

8

，由a₄=1知不满足“数列{a_n}的各项均为整数”，故d=3．…（5分）
于是a_n=a₄+（n-4）d=3n-11．…（7分）
（2）因为

am+1am+2

am

＝

(am+3)(am+6)

am

＝am+9+

18

am

，a_n=3n-11=3（n-4）+1，…（10分）
所以要使

am+1am+2

am

为数列{a_n}中的项，

18

am

必须是3的倍数，
于是a_m在±1，±2，±3，±6中取值，
但由于a_m-1是3的倍数，所以a_m=1或a_m=-2．
由a_m=1得m=4；由a_m=-2得m=3． …（13分）
当m=4时，

am+1am+2

am

＝

4×7

1

＝a13；
当m=3时，

am+1am+2

am

＝

1×4

?2

＝a3．
所以所求m的值为3和4．…（16分）