Question

已知数列｛an｝是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足an^2=S2n-1,n∈N*，数列｛bn｝满

足bn=1/(an·an+1),Tn为数列｛bn｝的前n项和.
(1)求a1、d、和Tn
(2)若对任意的n属于N*,不等式λTn<n+8·(-1)^n恒成立，求实数λ的取值范围
(3)是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出所有m,n的值。若不存在，请说明理由

Answer 1

an²=S2n-1
a1²=S1
a1=1、0
数列｛an｝是各项均不为0的=>
a1=1
an²=S2n-1
a2²=S3=a3+a2+a1
(a1+d)²=a1+2d+a1+d+a1
d²+2d+1=3d+3
d²-d-2=0
d=2、-1
数列｛an｝是各项均不为0的=>a2!=1-1=>
d=2
bn=1/(an·an+1)(n+1是角标吧？不是就别往下看了-.-b)
=1/[(2n-1)·(2n+1)]
=[1/(2n-1) - 1/(2n+1)]/2
Tn=1/2 · [1/1-1/3 + 1/3-1/5 +... +1/(2n-1) - 1/(2n+1)]
=1/2 · [1 - 1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
(2):
λTn<n+8·(-1)^n
λ<[n+8·(-1)^n]· (2n+1)/n
要求实数λ的取值范围即求
[n+8·(-1)^n]· (2n+1)/n的最小值
8·(-1)^n一正一负，不易计算，不妨拆为两个数列计算
当n为奇数时
[n+8·(-1)^n]· (2n+1)/n
=(n-8)(2n+1)/n
=2n-15-8/n
=2(n-4/n)-15
n-4/n随n的增加而增加
故当n=1时，(n-8)(2n+1)/n=-21，最小
当n为偶数时
[n+8·(-1)^n]· (2n+1)/n
=(n+8)(2n+1)/n
=2n+16+8/n
=2(n+4/n)+16
≥2·2√(n·4/n)+16≥24>-21
故当n=1时，[n+8·(-1)^n]· (2n+1)/n=-21，最小
故实数λ的取值范围为(-∞,-21)
(3)即设存在则有
T1· Tn=Tm· Tm
1/3 · n/(2n+1)= m²/(2m+1)²
n· (2m+1)²=3· m²· (2n+1)
n· (2m+1)²=6m²· n+3m²
n· (4m²+4m+1-6m²)=3m²
n=3m²/(-2m²+4m+1)
而-2m²+4m+1=-2m²+4m-2+3
=-2(m-1)²+3随m的增大而递减
且当m=3时，-2m²+4m+1=-5<0，故当m≥3时，n无正整数解
而当m=2时n=12
估计有且仅有一对合适的m、n分别等于2、12

Answer 2

Sn=na1+[n(n-1)d]/2,所以an²=S(2n-1)=(2n-1)a1+(n-1)(2n-1)d,化简得到an=0,或者an=2n-1,如题an均不为0，所以an=1,且d=2.