Question

公差不为0的等差数列{an}的前n项的和为Sn,若{Sn/an}也为等差数列,则数列{Sn/an}的前项和为?

Answer 1

解：
设{an}的公差为d,首项为a1,因此：
a2=a1+d ,a3=a1+2d
由于:
{Sn/an}也为等差数列，则有：
S1/a1+S3/a3=2(S2/a2)
代入得：
1+(a1+a2+a3)/a3=2(a1+a2)/a2
(a1+a2+2a3)/a3=2(a1+a2)/a2
化简后得到：
a1.a2+(a2)^2=2a1.a3
将前面的a1,a2,a3分别代入得到：
a1(a1+d)+(a1+d)^2=2a1(a1+2d)
可得：
a1.d=d^2
由于d不为0，故：
a1=d
所以有：
因此对数列{Sn/an}来说有：
S1/a1=a1/a1=1
S2/a2=(2a1+d)/(a1+d)=3d/2d=3/2
因此等差数列{Sn/an}的公差d' 为：
d'=S2/a2-S1/a1=3/2-1=1/2
故其前n项和Tn为：
Tn=n(S1/a1)+[n(n-1)d']/2
=n+[n(n-1)/2]/2
=n+n(n-1)/4
=(n^2+3n)/4 (n属于N+)

Answer 2

用待定系数法，设an=an b,(Sn/an)=xn y，用an表示出Sn，然后令用a,b表示的(Sn/an)等于x,y表示的(Sn/an)，求出（Sn/an）的通项公式为n/2或n/2 1/2，进而求出其前n项和为n（n 1）/4或n(n 3)/4