Question

已知函数f（x）=2sin（x-π6）sin（x+π3），π6≤x≤5π12．（1）求函数f（x）的值域；（2）若f（x）=22

已知函数f（x）=2sin（x-π6）sin（x+π3），π6≤x≤5π12．（1）求函数f（x）的值域；（2）若f（x）=223，求f（x2+π4）的值．

Answer 1

（1）依题意，f（x）=2(

3

2

sinx?

1

2

cosx)(

1

2

sinx+

3

2

cosx)
=sinxcosx-

3

2

（cos²x-sin²x） …（3分）
=

1

2

sin2x?

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

），…（5分）
因为

π

6

≤x≤

5π

12

，所以0≤2x?

π

3

≤

π

2

，从而0≤sin(2x?

π

3

)≤1，
所以函数f（x）的值域为[0，1]；　…（7分）
（2）依题意，sin（2x-

π

3

）=

2 2

3

，

π

6

≤x≤

5π

12

，
令θ＝2x?

π

3

，则x=

θ

2

+

π

6

，
从而sinθ=

2 2

3

，且0≤θ≤

π

2

，…（9分）
所以cosθ=

1?sin2θ

＝

1

3

，
又cosθ=1-2sin²

θ

2

=2cos²

θ

2

-1，0≤

θ

2

≤

π

4

，
故sin

θ

2

=

3

3

，cos

θ

2

=

6

3

，…（11分）
从而f（

x

2

+

π

4

）=sin（x+

π

6

）=sin（

θ

2

+

π

3

）=

1

2

sin

θ

2

+

3

2

cos

θ

2

=

3 +3 2

6

．…（14分）