Question

已知f（x）的定义域为R，且当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求f（0）的值．（2）证明：f

已知f（x）的定义域为R，且当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求f（0）的值．（2）证明：f（x）是奇函数．（3）如果x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=- 1 2 ，试求使f（x 2 -2ax-1）≤1对x∈[2，4]恒成立的实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵对任意实数x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）． ∴令x=y=0得：f（0）=2f（0），得f（0）=0． （2）∵f（x）的定义域为R，∴f（x）的定义域关于原点对称． 又令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0， ∴f（-x）=-f（x）是奇函数． （3）设x 1 ，x 2 ∈R，x 1 ＜x 2 ，则x 2 -x 1 ＞0， ∴f（x 2 -x 1 ）＜0，∴f（x 2 ）+f（-x 1 ）=f（x 2 ）-f（x 1 ）＜0， ∴f（x）是R上的减函数． ∵f（1）=- 1 2 ，∴ f(-1)= 1 2 ， ∴f（-2）=2f（-1）=1， ∴不等式f（x 2 -2ax-1）≤1即是f（x 2 -2ax-1）≤f（-2）， ∴x 2 -2ax-1≥-2即x 2 -2ax+1≥0对x∈[2，4]恒成立． 即 a≤ x 2 + 1 2x 对x∈[2，4]恒成立． 令 g(x)= x 2 + 1 2x ， 则 g ′ (x)= 1 2 - 1 2 x 2 = x 2 -1 2 x 2 ＞0 在x∈[2，4]上恒成立， 因此g（x）在x∈[2，4]上单调递增， ∴ g(x ) min =g(2)=1+ 1 4 = 5 4 ． ∴ a≤ 5 4 ．