Question

已知函数f(x)的定义域为R，对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，证明

1）函数f(x)是R上的减函数
2）函数f（x）是奇函数

Answer 1

f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)
所以f(0)=0
又因为f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)
所以f(-x)=-f(x)
所以f(x)是奇函数
对于任意实数x2>x1，x2-x1>0
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0
所以f（x）单调递减

Answer 2

1）这是一个抽象函数问题：
1.可令a，b=0解得f（0）=0（也可令a=-b）
2.f（0）=f（x）+f（-x）=0
3.所以f（-x）=-f（x）
4.为奇函数
2) 任意实数0<X1<X2, f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0
所以f（x）单调递减