Question

已知函数f（x）= x 2 +2x+a x ，x∈[1，+∞）．（1）当a= 1 2 时，判断证明f

已知函数f（x）= x 2 +2x+a x ，x∈[1，+∞）．（1）当a= 1 2 时，判断证明f（x）的单调性并求f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a= 1 2 时，f（x）=x+ 1 2x +2， 在[1，+∞）上任取x 1 ，x 2 ，且x 1 ＜x 2 ． 则f（x 1 ）-f（x 2 ）=（ x 1 + 1 2 x 1 +2）-（ x 2 + 1 2 x 2 +2）=（x 1 -x 2 ） (1- 1 2 x 1 x 2 ) ∵1＜x 1 ＜x 2 ，∴x 1 -x 2 ＜0，1- 1 2 x 1 x 2 ＞0， ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0，即f（x 1 ）＜f（x 2 ）， ∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）的最小值为f（1）= 7 2 ； （2）在区间[1，+∞）上，f（x）= x 2 +2x+a x ＞1等价于x 2 +x+a＞0， 而g（x）=x 2 +x+a= (x+ 1 2 ) 2 +a- 1 4 在[1，+∞）上递增， ∴当x=1时，g（x） min =2+a，当且仅当2+a＞0时，恒有f（x）＞1，即实数a的取值范围为a＞-2．