Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A1（-2，0），A2（

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A1（-2，0），A2（2，0）．过点D（1，0）的直线交椭圆于M，N两点，直线A1M与NA2的交点为G．（1）求实数a，b的值；（2）当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P1，P2使得△P1MN和△P2MN的面积为S，求S的取值范围；（3）求证：点G在一条定直线上．

Answer 1

（1）解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，
两个顶点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）．
∴a=2．e=

c

a

=

3

2

，∴c=

3

．
又∵b²=a²-c²=4-3=1，∴b=1．…（2分）
（2）解：由题设可知，椭圆的方程为

x2

4

+y²=1，直线MN的方程为y=x-1．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立方程组

x2 4 +y2＝1 y＝x?1

，消去y可得5x²-8x=0，
解得x₁=0，x₂=

8

5

．
将x₁=0，x₂=

8

5

，代入直线MN的方程，解得y₁=-1，y₂