Question

（2014?淮安模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，过椭圆右焦点

（2014?淮安模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，AB+CD=7．（1）求椭圆的方程；（2）求AB+CD的取值范围．

Answer 1

（1）由题意知，e＝

c

a

＝

1

2

，CD=7-2a，
所以a²=4c²，b²=3c²，…2分
因为点(c，

7?4c

2

)在椭圆上，
即

c2

4c2

+

( 7?4c 2 )2

3c2

＝1，
解得c=1．
所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．…6分
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知AB+CD=7；…7分
②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
且设直线AB的方程为y=k（x-1），
则直线CD的方程为y＝?

1

k

(x?1)．
将直线AB的方程代入椭圆方程中，
并整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
所以x1＝

4k2?6 k2+1

3+4k2

，x2＝

4k2+6 k2+1

3+4k2

，
所以AB＝

k2+1

|x1?x2|＝

12(k2+1)

3+4k2

．…10分
同理，