Question

已知函数f（x）=x3-3x，若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围为_____

已知函数f（x）=x3-3x，若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围为______．

Answer 1

设切点为（a，a³-3a），
∵f（x）=x³-3x，
∴f'（x）=3x²-3，
∴切线的斜率k=f′（a）=3a²-3，
由点斜式可得切线方程为y-（a³-3a）=（3a²-3）（x-a），
∵切线过点A（1，m），
∴m-（a³-3a）=（3a²-3）（1-a），即2a³-3a²=-3-m，
∵过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴关于a的方程2a³-3a²=-3-m有三个不同的根，
令g（x）=2x³-3x²，
∴g′（x）=6x²-6x=0，解得x=0或x=1，
当x＜0时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x=0时，g（x）取得极大值g（0）=0，
当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=-1，
关于a的方程2a³-3a²=-3-m有三个不同的根，等价于y=g（x）与y=-3-m的图象有三个不同的交点，
∴-1＜-3-m＜0，
∴-3＜m＜2，
∴实数m的取值范围为（-3，2）．
故答案为：（-3，-2）．