Question

已知函数f(x)＝x+1x，x＞0x3+3，x≤0，则方程f(2x2+x)＝a的根的个数不可能是（　　）A．3B．4C．5D．

已知函数f(x)＝x+1x，x＞0x3+3，x≤0，则方程f(2x2+x)＝a的根的个数不可能是（　　）A．3B．4C．5D．6

Answer 1

（1）画出f（x）图象，
当x＞0时，f（x）=x+

1

x

≥2，
当x≤0时，f（x）=x³+3≤3．于是可得：
①当2＜a＜3时，f（x）=a有3个根，一负二正；
②当a=3时，f（x）=a有3个根，一零二正；
③当3＜a时，f（x）=a有2个正根；
④当a=2时，f（x）=a有一正一负根；
⑤当a＜2时，f（x）=a只有一负根．
（2）令t=2x²+x=2(x+

1

4

)2?

1

8

，则t≥?

1

8

，
①当2＜a＜3时，f（t）=a有3个t使之成立，一负二正，两个正t分别对应2个x，
当t＜?

1

8

时，没有x与之对应，
当t=?

1

8

时，有1个x与之对应，
当t＞?

1

8

时，有2个x与之对应，∴根的个数分别为4、5、6个；
②当3＜a时，f（t）=a有2个正根，两个正t分别对应2个x，此时根的个数为4个．
③由题目不必考虑a≤2的情形．
所以根的个数只可能为4、5、6个．
即方程f（2x²+x）=a的根的个数只可能为4、5、6个，不可能为3个．
故选A．