Question

已知函数f(x)=x+1/x,x>0:x^3+3,x<=0,对于方程f(2x^2+x)=a(a>2)的根的个数不可能为

Answer 1

2x^2+x的取值范围为-1/8到正无穷，设t=2x^2+x，则t>0时，f(t)=t+1/t为双钩函数的一支，最小值为2，在t=1时取到，而-1/8<t<=0时，f(t)的取值范围为1535/512到3，并且单调递增。
分别判断各种情况：
2<a<1535/512，则只有当t>0时有根，此时t有两个解，而t=2x^2+2为二次函数，因此x有四个根。
a>3，同上可知只有当t>0时有根，x有四个根。
1535/512<a<3，此时在t>0时有两个解，而t<0时有一个解，因此x有六个根。

a=1535/512，同上，此时在t>0时有两个解，而t<0时有一个解，但在t<0处x有唯一解，因此x有五个根。
综上，该方程根的个数可能为4、5、6个，其余个数均不可能。