Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x，若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实

已知函数f（x）=x|x-a|+2x，若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（　　）A．（1，98）B．（1，32）C．（98，32）D．（1，54）

Answer 1

当0≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；
则当a∈（2，4]时，由f（x）=

x2+(2?a)x，x≥a ?x2+(2+a)x，x＜a

，
得x≥a时，f（x）=x²+（2-a）x对称轴x=

a?2

2

＜a，
则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a时，f（x）=-x²+（2+a）x对称轴x=

a+2

2

＜a，
则f（x）在x∈（-∞，

a+2

2

）为增函数，此时f（x）的值域为（-∞，

(a+2)2

4

），
f（x）在x∈[

a+2

2

，a）为减函数，此时f（x）的值域为（2a，

(a+2)2

4

）；
由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则2ta∈（2a，

(a+2)2

4

），
即存在a∈（2，4]，使得t∈（1，

(a+2)2

8a

）即可，令g（a）=

(a+2)2

8a

，
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，g（a）_max=g（4）=

9

8

，
故实数t的取值范围为（1，

9

8

）．