Question

（2014?商丘三模）如图，过抛物线C：y2=4x上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A

（2014?商丘三模）如图，过抛物线C：y2=4x上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）（1）求y1+y2的值；（2）若y1≥0，y2≥0，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

（1）因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线C：y²=4x上，
所以A(

y12

4

，y1)，B(

y22

4

，y2)，k_PA=

y1+2

y12 4 ?1

＝

4(y1+2)

y12?4

＝

4

y1?2

，
同理kPB＝

4

y2?2

，依题有k_PA=-k_PB，
所以

4

y1?2

＝?

4

y2?2

，所以y₁+y₂=4．   （4分）
（2）由（1）知kAB＝

y2?y1

y22 4 ? y12 4

＝1，
设AB的方程为y?y1＝x?

y12

4

，即x?y+y1?

y12

4

＝0，P到AB的距离为d＝

|3+y1? y12 4 |

2

，AB＝

2

|

y12

4

?

y22

4

|＝

2

|y1?y2|＝2

2

|2?y1|，
所以

S△PAB＝ 1 2 × |3+y1? y12 4 | 2 ×2 2 |2?y1|

=

1

4

|y12?4y1?12||y1?2|=

1

4

|(y1?2)2?16||y1?2|，（8分）
令y₁-2=t，由y₁+y₂=4，y₁≥0，y₂≥0，可知-2≤t≤2.S△PAB＝

1

4

|t3?16t|，
因为S△PAB＝

1

4

|t3?16t|为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，
记f（t）=|t³-16t|=16t-t³，f′（t）=16-3t²＞0，故f（t）在[0，2]是单调增函数，
故f（t）的最大值为f（2）=24，
所以S_△PAB的最大值为6．（10分）