Question

阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C

阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点，连接AF、BG、CH、DE，形成四边形MNPQ．求四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（用含n的代数式表示）．小明的做法是：先取n=2，如图2，将△ABN绕点B顺时针旋转90゜至△CBN′，再将△ADM绕点D逆时针旋转90゜至△CDM′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是 1 5 ；请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）取n=3，如图3，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______（直接写出结果）；（2）在图4中探究，n=4时四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______（在图4上画图并直接写出结果）；（3）猜想：当E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点时，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______（用含n的代数式表示）；（4）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．

Answer 1

（1）正方形ABCD的面积是10个小正方形，四边形MNPQ是4个小正方形， ∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为： 4 10 = 2 5 ；（2分） （2）如图1．（3分） 正方形ABCD的面积是17个小正方形，四边形MNPQ是9个小正方形， ∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为： 9 17 ；（5分） （3）正方形ABCD的面积是n 2 +1个小正方形，四边形MNPQ是（n-1） 2 个小正方形， ∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为： (n-1) 2 n 2 +1 ；（7分） （4）如图2．（8分） 设每个小正方形的面积是1，图形面积是10， 所以拼接后的正方形的边长是 10 ， ∴拼接后的正方形的是正方形ABCD．（9分）