Question

如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，DE交AB于F．（1）若G为DF的中点，连接AG，∠AED=2∠DAG，

如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，DE交AB于F．（1）若G为DF的中点，连接AG，∠AED=2∠DAG，AE=2，求DF的长；（2）若AE⊥AG，BE⊥DE，点F为AB的中点，求证：FG-EF=BE．

Answer 1

（1）解：在正方形ABCD中，∠BAD=90°，
∵G为DF的中点，
∴AG=DG=

1

2

DF，
∴∠DAG=∠ADG，
由三角形的外角性质，∠AGE=∠DAG+∠ADG=2∠DAG，
∵∠AED=2∠DAG，
∴∠AED=∠AGE，
∴AG=AE，
∵AE=2，
∴DF=2AG=2×2=4；

（2）证明：如图，过点A作AH⊥DF于H，
∵点F为AB的中点，
∴AF=BF，
在△AFH和△BFE中，

∠AFH＝∠BFE ∠AHF＝∠BEF＝90° AF＝BF

，
∴△AFH≌△BFE（AAS），
∴BE=AH，EF=FH，
∵BE⊥DE，
∴∠ABE+∠BFE=∠ADG+∠AFD=90°，
∴∠ADG=∠ABE，
∵AE⊥AG，
∴∠BAE+∠BAG=∠DAG+∠BAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，

∠BAE＝∠DAG AB＝AD ∠ADG＝∠ABE

，
∴△ABE≌△ADG（ASA），
∴AE=AG，
∵AE⊥AG，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AH=GH，
∴GH=BE，
由图可知，FG-FH=GH，
∴FG-EF=BE．