Question

（2012?贵阳）如图，二次函数y=12x2-x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．（1）

（2012?贵阳）如图，二次函数y=12x2-x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．（1）若A（-4，0），求二次函数的关系式；（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM′的面积；（3）是否存在抛物线y=12x2-x+c，使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵A（-4，0）在二次函数y=

1

2

x²-x+c的图象上，
∴

1

2

×（-4）²-（-4）+c=0，
解得c=-12，
∴二次函数的关系式为y=

1

2

x²-x-12；

（2）∵y=

1

2

x²-x-12，
=

1

2

（x²-2x+1）-

1

2

-12，
=

1

2

（x-1）²-

25

2

，
∴顶点M的坐标为（1，-

25

2

），
∵A（-4，0），对称轴为x=1，
∴点B的坐标为（6，0），
∴AB=6-（-4）=6+4=10，
∴S_△ABM=

1

2

×10×

25

2

=

125

2

，
∵顶点M关于x轴的对称点是M′，
∴S_{四边形AMBM′}=2S_△ABM=2×

125

2

=125；

（3）存在抛物线y=

1

2

x²-x-

3

2

，使得四边形AMBM′为正方形．
理由如下：令y=0，则

1

2

x²-x+c=0，设点AB的坐标分别为A（x₁，0）B（x₂，0），
则x₁+x₂=-

?1

1 2

=2，x₁?x₂=

c

1 2

=2c，
所以，AB=

(x1+x2)2?4x1x2

=

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