Question

如图，二次函数y=1/2x2-x+c的图象与x轴分别交于A,B两点，顶点M关于X轴的对称点是M`。

是否存在抛物线y=1/2x2-x+c,使得四边形AMBM`为正方形?若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由。

Answer 1

y=(1/2)(x-1)²+c-1/2
顶点M（1,c-1/2)，对称点m(1,1/2-c)
即Mm=|2c-1|
因AMBm为正方形
所以AB=|2c-1|，且AB关于x=1对称
x1+x2=2，即(x1+x2)²=4
x1x2=2c
|x1-x2|=2c-1，即(x1-x2)²=4c²-4c+1
所以
4c²-4c+1=4-4*2c
即4c²+4c-3=0
(2c-1)(2c+3)=0
解得c=1/2（不合）或c=-3/2
综上可得此抛物线的函数关系式为y=(1/2)x²-x-3/2

Answer 2

y=1/2x²-x+c
=1/2(x²-2x)+c
=1/2(x²-2x+1-1)+c
=1/2(x-1)²+c-1/2
顶点M(1,c-1/2), M'(1,1/2-c)
设A(X1,0), B(X2,0)
AMBM'为正方形, 则
X1+X2=-(-1)/(1/2)=2=1+1
X1X2=c/(1/2)=2c
|X1-X2|=|c-1/2-(1/2-c)|=|2c-1| (正方形对角线相等)
二边平方：x1²-2x1x2+x2²=(2c-1)²
x1²+2x1x2+x2²-4x1x2=(2c-1)²
(x1+x2)²-4x1x2=(2c-1)²
4-8c=4c²-4c+1
4c²+4c-3=0
(2c+3)(2c-1)=0
c=-3/2 或 c=1/2
c=1/2, y=1/2x²-x+1/2=1/2(x²-2x+1)=1/2(x-1)²
与X轴只有一个交点，M与M'重合，故舍弃
所以 y=1/2x²-x-3/2

Answer 3

存在抛物线y= 12x2-x- 32，使得四边形AMBM′为正方形．
理由如下：令y=0，则 12x2-x+c=0，设点AB的坐标分别为A（x1，0）B（x2，0），
则x1+x2=- -112=2，x1�6�1x2= c12=2c，
所以，AB= (x1+x2)2-4x1x2= 4-8c，
点M的纵坐标为： 4ac-b24a= 4× 12×c-14× 12= 2c-12，
∵顶点M关于x轴的对称点是M′，四边形AMBM′为正方形，
∴ 4-8c=2× 2c-12，
整理得，4c2+4c-3=0，
解得c1= 12，c2=- 32，
又抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac=（-1）2-4× 12c＞0，
解得c＜ 12，
∴c的值为- 32，
故，存在抛物线y= 12x2-x- 32，使得四边形AMBM′为正方形．