Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数．给出下列结论：①函数f（x）的最

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数．给出下列结论：①函数f（x）的最小正周期为2；②函数f（x）的图象关于（1，0）对称；③函数f（x）的图象关于x=2对称； ④函数f（x）的最大值为f（2）．其中正确命题的序号是（　　）A．①②B．②③C．③④D．①④

Answer 1

①∵定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）+f（x）=0，
即：f（x+2）=-f（x）对于一切x都成立，
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），由函数的周期定义可以得到：
∴f（x）是周期函数，且周期T=4，所以结论①错误；
②∵函数f（x+1）为奇函数，即函数f（x）向左平移一个单位以后关于（0，0）对称，
∴平移之前的图象应该关于（1，0）对称，所以结论②正确；
③∵y=f（x+1）为奇函数，∴f（-x+1）=-f（x+1）；
又f（x+2）+f（x）=0，∴f（x+2）=-f（x），∴f（x+3）=-f（x+1）=f（-x+1）；
∴函数f（x）有对称轴x=2，所以结论③正确；
④∵f（x）的周期T=4，有对称轴x=2，且f（x+1）为奇函数，∴满足以上条件的函数f（x）的最大值（或最小值）是f（2）；所以结论④不正确．
综上，结论正确的有②③
故选：B