设函数f（x）连续且恒大于零，F（t）=∫∫∫Ω(t)f(x2+y2+z2)dv∫∫D(t)f(x2+y2)dσ，G（x）=∫∫D(t)f(x
设函数f（x）连续且恒大于零，F（t）=∫∫∫Ω(t)f(x2+y2+z2)dv∫∫D(t)f(x2+y2)dσ，G（x）=∫∫D(t)f(x2+y2)dσ∫t?tf(x...
设函数f（x）连续且恒大于零，F（t）=∫∫∫Ω(t)f(x2+y2+z2)dv∫∫D(t)f(x2+y2)dσ，G（x）=∫∫D(t)f(x2+y2)dσ∫t?tf(x2)dx，其中Ω（t）={（x，y，z）|x2+y2+z2≤t2}，D（t）={（x，y）|x2+y2≤t2}．（1）讨论F（t）在区间（0，+∞）内的单调性；（2）证明当t＞0时，F（t）＞2πG（t）．
展开
1个回答
展开全部
（1）因为F(t)＝
＝
，
F′(t)＝2
，
显然有：
t≥0，f（t2）＞0；t-r≥0，f（r2）＞0；
所以：
tf（t2）
f（r2）（t-r）dr≥0．
因此：
在（0，+∞）上F'（t）≥0，
故F（t） 在（0，+∞）内单调不减．
（2）因为：
G(t)＝
，
要证明t＞0时
F(t)＞
G(t)，只需证明t＞0时，
F(t)?
G(t)＞0，
即
f(r2)r2dr
f(r2)dr?[
f(r2)rdr]2＞0．
令 g(t)＝
f(r2)r2dr
| ||||||
|
2
| ||
|
F′(t)＝2
tf(t2)
| ||
[
|
显然有：
t≥0，f（t2）＞0；t-r≥0，f（r2）＞0；
所以：
tf（t2）
| ∫ | t 0 |
因此：
在（0，+∞）上F'（t）≥0，
故F（t） 在（0，+∞）内单调不减．
（2）因为：
G(t)＝
π
| ||
|
要证明t＞0时
F(t)＞
| 2 |
| π |
F(t)?
| 2 |
| π |
即
| ∫ | t 0 |
| ∫ | t 0 |
| ∫ | t 0 |
令 g(t)＝
| ∫ | t 0 |
| ∫ | t 
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
为你推荐：下载百度知道APP，抢鲜体验
使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×
类别
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交
取消
|
