Question

如图，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．（1）试判断OE和AB的位置关系，并给出证

如图，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．（1）试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．（2）在OE所在直线上，是否存在点M，使△ABM是直角三角形？若存在，请画出直角△ABM（保留画图痕迹），并简要说明你的画法正确；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）OE⊥AB；
证明：在△BAC和△ABD中，

AC＝BD ∠BAC＝∠ABD AB＝BA

∴△BAC≌△ABD．
∴∠OBA=∠OAB
∴OA=OB
又∵AE=BE
∴OE⊥AB；

（2）在OE所在直线上，存在满足条件的两个点M，使△ABM是直角三角形．
在直线OE上分别截取EM₁=AE=EM₂，则M₁、M₂即为所求．