Question

已知二次函数f（x）=ax2+x，若对任意x1、x2∈R，恒有2f（x1+x22）≤f（x1）+f（x2）成立，不等式f（x）＜

已知二次函数f（x）=ax2+x，若对任意x1、x2∈R，恒有2f（x1+x22）≤f（x1）+f（x2）成立，不等式f（x）＜0的解集为A．（1）求集合A；（2）设集合B={x||x+4|＜α}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．

Answer 1

（1）对任意x₁、x₂∈R，由f（x₁）+f（x₂）-2f（

x1+x2

2

）=

1

2

a(x1?x2)2≥0成立．
要使上式恒成立，所以a≥0．…（3分）
由f（x）=ax²+x是二次函数知a≠0，故a＞0．…（4分），
解得A＝(?

1

a

，0)．…（5分）
（2）解得B=（-a-4，a-4），…（6分）
因为集合B是集合A的子集，所以a-4≤0…（8分）
且?a?4≥?

1

a

，…（11分）
化简a²+4a-1≤0，解得0＜a≤?2+

5

…（14分）