Question

已知函数f（x）=x2+2ax-a+2（1）若对于任意x∈R，f（x）≥0恒成立...

已知函数f（x）=x2+2ax-a+2 （1）若对于任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围； （2）若对于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围； （3）若对于任意a∈[-1，1]，x2+2ax-a+2＞0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

解：（1）若对于任意x∈R，f（x）=x2+2ax-a+2≥0恒成立，
则有△=4a2-4（-a+2）≤0，求得-2≤a≤1．
（2）由于对于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，故f（x）min≥0．
又函数f（x）的图象的对称轴方程为x=-a，当-a＜-1时，fmin（x）=f（-1）=3-3a≥0，求得a无解；
当-a＞1时，fmin（x）=f（1）=3+a≥0，求得-3≤a＜-1；
当-a∈[-1，1]时，fmin（x）=f（-a）=-3a2-a+2，求得-1≤a≤23．
综上可得，a的范围为[-3，23]．
（3）若对于任意a∈[-1，1]，x2+2ax-a+2＞0恒成立，等价于g（a）=（2x-1）a+x2+2＞0，
∴g(-1)=x2-2x+1+2＞0g(1)=x2+2x-1+2＞0，求得x≠-1，即x的范围为{x|x≠-1}．