Question

已知函数f(x)=(x^2+ax+11)/(x+1)(a∈R)，若对于任意的x∈N*,f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是 。

已知函数f(x)=(x^2+ax+11)/(x+1)(a∈R)，若对于任意的x∈N*,f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是 。

Answer 1

由已知得(x^2+ax+11)/(x+1))≥3得出a≥3-x-8/x
记g(x)=3-x-8/x,下面求g(x)的最大值
g'(x)=(8-x^2)/x^2
当x≥3时,g'(x)<0,得g(x)是减函数,
x=3时,g(x)=-8/3
而x=1时,g(x)=-6;x=2时,g(x)=-3
所以g(x)的最大值为-8/3
所以a的取值范围是[-8/3,+∞)

Answer 2

(x²＋ax＋11)/(x＋1)≥3，即x²＋ax＋11≥3(x＋1)，
ax≥－x²＋3x－9，由于x∈N*，则：
a≥3－(x＋9/x)，所以只要a大于等于g(x)=3－(x＋9/x)的最大值，其中x∈N。
由于x＋9/x≥6 (基本不等式)，当且仅当x=3时取等号(等号可以取得到)，所以g(x)的最大值是－3，从而本题中的取值范围是a≥－3。

Answer 3

由f(x)＞=3可得，x^2+ax+11>=3x+3,整理得x^2+(a-3)x+9>=0,这是一个抛物线，这条抛物线在R上恒大于等于0,也就是g(x)=x^2+(a-3)x+9在x轴上方，至多与x轴有一个交点，即(a-3)^2-36<=0（有一解或者无解，根据b^2-4ac），解得-3<=a<=9这种题就是多画图，数形结合，数学其实很有趣，有什么问题可以再问我

Answer 4

a>=-6且a属于R

Answer 5

X^2+AX+11≥3(X+1)
X^2+(A-3)X+8≥0
因为(X+√8)^2≥0 所以A-3≥2√8 A≥3+4√2