Question

线性代数题目，非齐次线性无关的解有三个，基础解系的秩应该是三吧？为什么是2

Answer 1

n1, n2, n3 是 Ax=b 的 3 个线性无关的解，
则 An1=b (1), An2=b (2), An3=b (3)
[(1)+(2)]/2，得 A(n1+n2)/2=b, 故 (n1+n2)/2 是 Ax=b 的特解；
(2)-(1), (3)-(1) 分别得 A(n2-n1)=0, A(n3-n1)=0,
故 n2-n1, n3-n1 是导出组 Ax=0 的基础解系，
则 Ax=b 的通解是 x=(n1+n2)/2+k1(n2-n1)+k2(n3-n1), 选 C。

追问

这个我知道 我就问为什么 基础解系的秩是2不是3

追答

A, 方程组有4个方程，3 个未知数。
假设 r(A)=3, 则 Ax=0 只有零解，
Ax=b 可能无解，也可能有唯一解，但不会有3个线性无关的解，
与题设条件不符，故 r(A)<3.
Ax=b 有 3 个线性无关的解, 其差只有 2 个线性无关，
故基础解系含2个向量， r(A)=2,

追问

再问一句，非齐次线性方程组中线性无关的解的数量和基础解系中的数量没有关系是吧

追答

上面解答有一处错，本题 导出组 基础解系含2个向量， r(A)=1,
齐次线性方程组基础解系中向量的个数 等于 未知数个数 减去 r(A).
非齐次线性方程组 r(A，b)=r(A) 时才有解。 有无穷多解时，必有 r(A)<n ,
此时导出组必有非零解即基础解系。

Answer 2

线性无关解的个数等于自由变量的个数，也就是3个自由所以秩是3

追问

秩等于三 齐次方程不就只有零解了

追答

A为4*3阶矩阵

追问

那基础解系的秩应该是 3-3=0？

追答

3个基础解系就意味着有三个自由变量这个不难理解吧。

Answer 3

知道里大概很少有这么高的水准

Answer 4

选A？