Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若BC=12，AD=8，求BF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE， ∵AC是圆的切线， ∴OE⊥AC， ∵BC⊥AC， ∴OE ∥ BC， ∵O是BD的中点， ∴OE是△BFD的中位线， ∵OE ∥ BF， ∴∠DEO=∠EFB， 又∵∠ODE=∠OED， ∴∠ODE=∠BFD， ∴BD=BF； （2）设⊙O的半径为R，则BD=2R，OD=OE=R ∵OE ∥ BC， ∴△AOE ∽ △ABC， ∴ OE BC = AO AB ，即 R 12 = R+8 2R+8 ， 解得：R 1 =8，R 2 =-6（舍去） ∴BF=BD=2R=16．