Question

已知函数f（x）=a?4x-2x+1+a+3．（1）若a=0，解方程f（2x）=-5；（2）若a=1，求f（x）的单调区间；（3）

已知函数f（x）=a?4x-2x+1+a+3．（1）若a=0，解方程f（2x）=-5；（2）若a=1，求f（x）的单调区间；（3）若存在实数x0∈[-1，1]，使f（x0）=4，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）若a=0，由f（2x）=-5，即-2^2x+1+3=-5，
∴2^2x+1=8，∴2^2x+1=2³，
∴2x+1=3
∴x=1（2分）
（2）若a=1，则f（x）=4^x-2^x+1+4，设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=4x2?2x2+1+4?(4x1?2x1+1+4)=(4x2?4x1)?2(2x2?2x1)=(2x2?2x1)(2x2+2x1?2)
∵2x2?2x1＞0
①当x₁，x₂∈[0，+∞）时，有2x2+2x1?2＞0，
∴(2x2?2x1)(2x2+2x1?2)＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数；
②当x₁，x₂∈（-∞，0]时，有2x2+2x1?2＜0，
∴(2x2?2x1)(2x2+2x1?2)＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0]上是减函数
∴f（x）的单调增区间是[0，+∞），单调减区间是（-∞，0]（7分）
（3）设2^x=t，由x₀∈[-1，1]，得t∈[

1

2

，2]，且f（x）=a?4^x-2^x+1+a+3=a?t²-2t+a+3
∴存在t∈[

1

2

，2]，使得a?t²-2t+a+3=4，即a?t²-2t+a-1=0
令g（t）=a?t²-2t+a-1，
若a=0，由f（x₀）=4，无解．
若a≠0，则函数g（t）的对称轴是t＝

1

a

由已知得方程g（t）=0在t∈[

1

2

，2]上有实数解
∴g(

1

2

)g(2)≤0或