Question

已知函数f（x）=x2+（x-1）?|x-a|．（1）若a=-1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实

已知函数f（x）=x2+（x-1）?|x-a|．（1）若a=-1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，求实数a的值．

Answer 1

（1）若a=-1，则方程f（x）=1可化为x²+（x-1）?|x+1|=0，
即2x²-1=0（x≥-1）或1=0（x＜-1），
故x=

2

2

或x=-

2

2

；
（2）f（x）=x²+（x-1）?|x-a|=

2x2?(1+a)x+a，x≥a (a+1)x?a，x＜a

，
则若使函数f（x）在R上单调递增，
则

a+1＞0 1+a 4 ≤a

，
则a≥

1

3

；
（3）若a≥3，则f（x）=（a+1）x-a，x∈[2，3]，
则函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，可化为
2（a+1）-a=6，则a=4；
若

1

3

≤a＜3，则f（x）在[2，3]上单调递增，
则2（a+1）-a=6，则a=4无解，
若a＜

1

3

，

1+a

4

＜

1

3

，
则f（x）=x²+（x-1）?|x-a|在[2，3]上单调递增，
则2?2²-（1+a）2+a=6，
解得，a=0．
综上所述，a=0或a=4．