Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求所有的实数a，

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；（3）若存在a∈[-4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)=x|x-a|+2x=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

由f（x）在R上是增函数，则

a≥- 2-a 2 a≤ 2+a 2

即-2≤a≤2，则a范围为-2≤a≤2；（4分）
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即|x-a|＜

1

x

，-

1

x

＜x-a＜

1

x

，x-

1

x

＜a＜x+

1

x

，故只要x-

1

x

＜a且a＜x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]时，只要x-

1

x

的最大值小于a且x+

1

x

的最小值大于a即可，（6分）
而当x∈[1，2]时，(x-

1

x

)′=1+

1

x2

＞0，x-

1

x

为增函数，(x-

1

x

)max=

3

2

；
当x∈[1，2]时，(x+

1

x

)′=1-

1

x2

＞0，x+

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