Question

已知函数f（x）=lnx+ax+1，a为常数，若a=92，求函数f（x）在（1，e）上的值域

已知函数f（x）=lnx+ax+1，a为常数，若a=92，求函数f（x）在（1，e）上的值域．

Answer 1

f′（x）=

1

x

-

9 2

(x+1)2

=

x2+2x+1? 9 2 x

x(x+1)2

=

(x? 5 4 )2? 9 16

x(x+1)2

，
∵x∈（1，e），
∴当1＜x＜2时f′（x）＜0，函数f（x）单调减，
当2＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）单调增，
故x=2时，f′（x）=0，函数f（x）取最小值，f（2）=ln2+

3

2

，
f（1）=ln1+

9

4

=

9

4

，f（e）=lne+

9 2

e+1

，f（e）＜f（1），
∴函数的最大值为

9

4

，
故函数f（x）在（1，e）上的值域为[ln2+

3

2

，

9

4

）．