Question

设Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*时，点（an，Sn）都在函数f（x）=-12x+12的图象上．（Ⅰ）求数列

设Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*时，点（an，Sn）都在函数f（x）=-12x+12的图象上．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=lg（1-2Sn）+2，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）因为点（a_n，S_n）都在函数f(x)＝?

1

2

x+

1

2

的图象上．
所以Sn＝?

1

2

an+

1

2

，（1分）
当n=1时，S1+

1

2

a1＝

1

2

，∵S1＝a1∴a1＝

1

3

，（2分）
当昌燃n≥2时，Sn?1＝?

1

2

an?1+

1

2

，塌升（3分）
所以an＝Sn?Sn?1＝?

1

2

an+

1

2

+

1

2

an?1?

1

2

＝?

1

2

an+

1

2

an?1，（4分）
∴an＝

1

3

an?1，∴{a_n}是公比为

1

3

，首项为

1

3

的等比数列，
∴an＝(

1

3

)n；（5分）
（Ⅱ） 因为{a_n}是公比为

1

3

，首项为

1

3

的等比数列，
所以Sn＝

1 3 (1? 1 3n )

1? 1 3

＝

1

2

(1?

1

3n

)，（6分）
∴b_n=lg（1-2S_n）+2=-nlg3+2，（7分）
∵b_n+1-b_n=-lg3，
∴数列{b_n}是以-lg3+2为首项，公差为-lg3的等差数列，且单调耐衫虚递减，（8分）
由

bn≥0 bn+1＜0

，（9分）
所以

?nlg3+2≥0 ?(n+1)lg3+2＜0

，即

2

lg3

?1＜n≤

2

lg3

，
因为

2

lg3

＝log3100＜log335＝5，

2

lg3

?1＝log3

100

3

＞log333＝3，
∴n=4，（11分）
数列{b_n}的前n项和的最大值为T4＝

1

2

(?lg3+2?4lg3+2)×4＝8?10lg3．（12分）

Answer 2

Sn=-12an+12 ,a1=S1=12/13
S(n-1)=-12a(n-1)+12
an=-12an+12a(n-1)
13an=12a(n-1)
an/闹局a(n-1)=12/液源让13
an=12/裂腔13*(12/13)^(n-1)=(12/13)^n
an=(12/13)^n

Answer 3

f(a1) = -12a1 +12 = a1 => a1 =12/13
f(a2)=-12a2 + 12 = a1 +a2 => a2 = (12-12/13)/13 = (12/13)^2,
观察得an = (12/13)^n,
利用数学归纳法证明：
当n=1时成立
假定当n<N时都成立，羡咐桐兄坦当n=N时，得到
f(aN) = -12 aN + 12 = SN = S(N-1) +aN
而简握S(N-1) = f(a(N-1)) =-12 *(12/13)^(N-1)+12
得到 -12 aN +12 = -12 *(12/13)^(N-1)+12 +aN
13aN = 12--12 *(12/13)^(N-1)
aN =(12/13)^N
得证