Question

已知函数f（x）=mx-m?1+2ex-lnx，g（x）=1x+lnx．（1）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若

已知函数f（x）=mx-m?1+2ex-lnx，g（x）=1x+lnx．（1）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若当x∈[1，e]时，至少存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）当m=0时，f（x）=

1?2e

x

-lnx，
f′（x）=

2e?1

x2

-

1

x

=

(2e?1)?x

x2

（x＞0），
当0＜x＜2e-1时，f′（x）＞0，当x=2e-1时，f′（x）=0，当x＞2e-1时，f′（x）＜0，
则函数f（x）的单调递增区间是（0，2e-1），单调递减区间是（2e-1，+∞），
故f（x）的极大值为f（2e-1）=-1-ln（2e-1），无极小值；
（2）当x=1时，f（1）=m-（m-1+2e）=1-2e，g（1）=1，则f（1）＜g（1），
当x∈（1，e]时，由f（x）＞g（x），分离参数得，m＞

2e+2xlnx

x2?1

，
令h（x）=

2e+2xlnx

x2?1

，则h′（x）=

(?2x2?2)lnx+(2x2?4ex?2)

(x2?1)2

，
由于x∈（1，e]，则0＜lnx≤1，即有（-2x²-2）lnx＜0，
2x²-4ex-2=2（x-e）²-2-2e²＜0，
则h′（x）＜0，即有h（x）在（1，e]上递减，
即有h（x）_min=h（e）=

4e

e2?1

，
综上，要使当x∈[1，e]时，至少存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
只需m＞

4e

e2?1

．