Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-3n（n∈N*）．（1）证明数列{an+3}是等比数列，求出数列{an}的通项公

已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-3n（n∈N*）．（1）证明数列{an+3}是等比数列，求出数列{an}的通项公式；（2）设bn=n3an，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）证明：因为S_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
则a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，
所以a_n+1+3=2（a_n+3），
因为n=1时，a₁=S₁=2a₁-3，所以a₁=3，所以a₁+3=6，
所以数列{a_n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列；
所以a_n+3=6?2^n-1=3?2ⁿ，
所以a_n=3?2ⁿ-3；
（2）解：b_n=

n

3

an=n?2ⁿ-n，则T_n=（1?2¹+2?2²+…+n?2ⁿ）-（1+2+…+n）
令T_n′=1?2¹+2?2²+…+n?2ⁿ，则2T_n′=1?2²+2?2³+…+n?2ⁿ⁺¹，
两式相减可得-T_n′=1?2¹+1?2²+1?2³+…+1?2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n?2ⁿ⁺¹，
∴T_n′=（n-1）?2ⁿ⁺¹+2，
∴T_n=（n-1）?2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

．