Question

如图，二次函数的图象经过点D（0， ），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）

如图，二次函数的图象经过点D（0， ），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

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Answer 1

解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x﹣h） 2 +k ∵顶点C的横坐标为4，且过点（0， ） ∴y=a（x﹣4） 2 +k， =16a+k① 又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A（1，0），B（7，0） ∴0=9a+k② 由①②解得a= ，k=﹣ ∴二次函数的解析式为：y= （x﹣4） 2 ﹣ （2）∵点A、B关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD， ∴∠BPM=∠BDO， 又∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO ∴ ∴ ∴点P的坐标为（4， ） （3）由（1）知点C（4， ）， 又∵AM=3， ∴在Rt△AMC中，cot∠ACM= ， ∴∠ACM=60°， ∵AC=BC， ∴∠ACB=120° ①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120°，则∠QBN=60° ∴QN=3 ，BN=3，ON=10， 此时点Q（10， ）， 如果AB=AQ，由对称性知Q（﹣2， ） ②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB， 此时点Q的坐标是（4， ）， 经检验，点（10， ）与（﹣2， ）都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为（10， ）或（﹣2， ）或（4， ）．