Question

（2011?肇庆）如图．矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若

（2011?肇庆）如图．矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面积为83，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD．
∴四边形OCED是菱形；

（2）解：∵∠ACB=30°，
∴∠DCO=90°-30°=60°．
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形．
过D作DF⊥OC于F，则CF=

1

2

OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x．
在Rt△DFC中，tan60°=

DF

FC

，
∴DF=

3

x．
∴OC?DF=8

3

．
∴x=2．
∴AC=4×2=8．