Question

已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析

已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤c，求实数c的最小值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），∴f^′（x）=3ax²+2bx-3．
∵函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，∴切点为（1，-2）．
∴

f(1)＝?2 f′(1)＝0

，即

a+b?3＝?2 3a+2b?3＝0

，解得

a＝1 b＝0

．
∴f（x）=x³-3x．
（2）令f^′（x）=0，解得x=±1，列表如下：
由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极大值，且f（-1）=2；当x=1时，函数f（x）取得极小值，且f（1）=-2．
又f（-2）═-2，f（2）=2．
∴f（x）=x³-3x在区间[-2，2]上的最大值和最小值分别为2，-2．
∴对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=|2-（-2）|=4≤c．
即c得最小值为4．