Question

如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP⊥CQ于点E，交BC于点P，连接OP

如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP⊥CQ于点E，交BC于点P，连接OP，OQ；求证：（1）△BCQ≌△CDP；（2）OP=OQ．

Answer 1

证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，（2分）
∴∠2+∠3=90°，
又∵DP⊥CQ，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，（4分）
在△BCQ和△CDP中，

∠B＝∠PCD BC＝CD ∠1＝∠3

．
∴△BCQ≌△CDP．（5分）

（2）连接OB．
（6分）
由（1）：△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，（7分）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
而点O是AC中点，
∴BO＝

1

2

AC＝CO，∠4＝

1

2

∠ABC＝45°＝∠PCO，（9分）
在△BOQ和△CDP中，

BQ＝CP ∠4＝∠PCO BO＝CO

．
∴△BOQ≌△COP，
∴OQ=OP．（10分）