Question

（2009?韶关一模）一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为a的正方形，左视图是直角边长为a的

（2009?韶关一模）一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为a的正方形，左视图是直角边长为a的等腰三角形）如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点．（Ⅰ）求证：GN⊥AC；（Ⅱ）求三棱锥F-MCE的体积；（Ⅲ）当FG=GD时，证明AG∥平面FMC．

Answer 1

解答：解：（Ⅰ）由三视图可知，多面体是直三棱柱，
两底面是直角边长为a的等腰直角三角形，
侧面ABCD，CDFE是边长为a的正方形．（3分）
连接DN，因为FD⊥CD，FD⊥AD，
所以，FD⊥面ABCD
∴FD⊥AC
又∵AC⊥DN，
所以，AC⊥面GND，
GN?面GND
所以GN⊥AC（6分）
（Ⅱ）V_E-FMC=V_ADF-BCE-V_F-AMCD-V_E-MBC．（12分）
=S△BCE?CD?

1

3

FD?SAMCD?

1

3

EC?S△MBC
=

1

2

a?a?a?

1

3

?

1

2

(

a

2

+a)?a?a?

1

3

?

1

2

?

a

2

?a?a
=

1

6

a3．（14分）
另解：VE?FMC＝VM?CEF＝

1

3

AD?S△CEF＝

1

3

?a?

1

2

a?a＝

1

6

a3
（Ⅲ）连接DE交FC于Q，连接QG
因为G，Q，M分别是FD，FC，AB的中点，所以GQ∥

1

2

CD，AM∥

1

2

CD，
所以，AM∥GQ，AMGQ是平行四边形（9分）
AG∥QM，AG?面FMC，MQ?面FMC
所以，AG∥平面FMC．（10分）