Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC ∥ AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC ∥ AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4（单位：cm），E为PA的中点．（1）证明：DE ∥ 平面PBC；（2）证明：DE⊥平面PAB．

Answer 1

（1）设PB的中点为F，连接EF、CF，EF ∥ AB，DC ∥ AB， 所以EF ∥ DC，且EF=DC= 1 2 AB， 故四边形CDEF为平行四边形， 可得ED ∥ CF．（4分） ED?平面PBC，CF?平面PBC， 故DE ∥ 平面PBC．（7分） （2）PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD， 所以AB⊥PD， 又因为AB⊥AD，PD∩AD=D， AD?平面PAD，PD?平面PAD， 所以AB⊥平面PAD．（10分） ED?平面PAD，故ED⊥AB， 又PD=AD，E为PA之中点，故ED⊥PA；（12分） PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB， ∴DE⊥平面PAB．（14分）