Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD， CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD， CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)若BE⊥平面PCD，①求异面直线PD与BC所成角的余弦值；②求二面角E-BD-C的余弦值。

Answer 1

解：设AB=a，PA=b， 建立如图的空间直角坐标系， ， ， (Ⅰ) ， 所以， ， 平面PAD， ∴BE∥平面PAD。 (Ⅱ)∵BE⊥平面PCD， ∴BE⊥PC，即 ， ， ∴ ，即b=2a， ① ， ， 所以，异面直线PD与BC所成角的余弦值为 ； ②平面BDE和平面BDC中， ， ， 所以，平面BDE的一个法向量为 ， 平面BDC的一个法向量为 ， ， 所以，二面角E-BD-C的余弦值为 。