Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：①f（1）=1； ② x∈[0，1]，总有f（x）≥0

对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：①f（1）=1； ② x∈[0，1]，总有f（x）≥0；③当x 1 ≥0，x 2 ≥0，x 1 +x 2 ≤1时，都有f（x 1 +x 2 ）≥f（x 1 ）+f（x 2 ），则称函数f（x）为理想函数．（Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，求f（0）．（Ⅱ）判断函数g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）和函数 （x∈[0，1]）是否为理想函数？若是，予以证明；若不是，说明理由．（Ⅲ）设函数f（x）为理想函数，若 x 0 ∈[0，1]，使f（x 0 ）∈[0，1]，且f[f（x 0 ）]=x 0 ，求证：f（x 0 ）=x 0 ．





Answer 1

解：（Ⅰ）取x 1 =x 2 =0，代入f（x 1 +x 2 ）≥f（x 1 ）+f（x 2 ）， 可得f（0）≥f（0）+f（0）即f（0）≤0 由已知 x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0， ∴f（0）=0 （Ⅱ）显然g（x）=2 x ﹣1在[0，1]上满足g（x）≥0； ②g（1）=1．若x 1 ≥0，x 2 ≥0，且x 1 +x 2 ≤1，则有 g（x 1 +x 2 ）﹣[g（x 1 ）+g（x 2 ）]=  ﹣1﹣[（  ﹣1）+（  ﹣1）]=（  ﹣1）（  ﹣1）≥0 故g（x）=2 x ﹣1满足条件①②③， 所以g（x）=2 x ﹣1为理想函数．对应函数  在x∈[0，1]上满足 ①h（1）=1；  ② x∈[0，1]，总有h（x）≥0；  ③但当x 1 ≥0，x 2 ≥0，x 1 +x 2 ≤1时，例如  =x 2 时，h（x 1 +x 2 ）=h（1）=1， 而h（x 1 ）+h（x 2 ）=2h（  ）=  ，不满足条件③，则函数h（x）不是理想函数． （Ⅲ）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]， ∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）． 若f（x 0 ）＞x 0 ，则f（x 0 ）≤f[f（x 0 ）]=x 0 ，前后矛盾； 若f（x 0 ）＜x 0 ，则f（x 0 ）≥f[f（x 0 ）]=x 0 ，前后矛盾． 故f（x 0 ）=x 0 ．