Question

已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是y1=-ax2-ax+1，y2=ax2-ax-1（其中a为常数，且a＞0）．（1）请

已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是y1=-ax2-ax+1，y2=ax2-ax-1（其中a为常数，且a＞0）．（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；（2）当a＝12时，设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M，N两点（M在N的左边），y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E，F两点（E在F的左边），观察M，N，E，F四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；（3）设上述两条抛物线相交于A，B两点，直线l，l1，l2都垂直于x轴，l1，l2分别经过A，B两点，l在直线l1，l2之间，且l与两条抛物线分别交于C，D两点，求线段CD的最大值？

Answer 1

（1）解：答案不唯一，只要合理均可．例如：
①抛物线y₁=-ax²-ax+1开口向下，或抛物线y₂=ax²-ax-1开口向上；
②抛物线y₁=-ax²-ax+1的对称轴是x＝?

1

2

，或抛物线y₂=ax²-ax-1的对称轴是x＝

1

2

；
③抛物线y₁=-ax²-ax+1经过点（0，1），或抛物线y₂=ax²-ax-1经过点（0，-1）；
④抛物线y₁=-ax²-ax+1与y₂=ax²-ax-1的形状相同，但开口方向相反；
⑤抛物线y₁=-ax²-ax+1与y₂=ax²-ax-1都与x轴有两个交点；
⑥抛物线y₁=-ax²-ax+1经过点（-1，1）或抛物线y₂=ax²-ax-1经过点（1，-1）；

（2）当a＝

1

2

时，y1＝?

1

2

x2?

1

2

x+1，令?

1

2

x2?

1

2

x+1＝0，
解得x_M=-2，x_N=1．（4分）
y2＝

1

2

x2?

1

2

x?1，令

1

2

x2?

1

2

x?1＝0，解得x_E=-1，x_F=2．（5分）
①∵x_M+x_F=0，x_N+x_E=0，∴点M与点F对称，点N与点E对称；
②∵x_M+x_F+x_N+x_E=0，∴M，N，E，F四点横坐标的代数和为0；
③∵MN=3，EF=3，∴MN=EF（或ME=NF）．（6分）

（3）∵a＞0，
∴抛物线y₁=-ax²-ax+1开口向下，抛物线y₂=ax²-ax-1开口向上．（7分）
根据题意，得CD=y₁-y₂=（-ax²-ax+1）-（ax²-ax-1）=-2ax²+2．（8分）
∴当x=0时，CD的最大值是2．（9分）