Question

已知直线x+y-1=0经过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的顶点和焦点F．（Ⅰ）求此椭圆的标准方程；（Ⅱ）斜

已知直线x+y-1=0经过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的顶点和焦点F．（Ⅰ）求此椭圆的标准方程；（Ⅱ）斜率为k，且过点F的动直线l与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D，求证直线BD过顶点．

Answer 1

（Ⅰ）解：由直线直线x+y-1=0经过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

＝1 (a＞b＞0)的短轴端点（0，b）和右焦点
F（c，0），可得b=c=1，∴a²=b²+c²=2．
故椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2＝1；  
（Ⅱ）证明：由椭圆C的方程可得右焦点为F（1，0），
∵直线AB的斜率为k，且直线经过右焦点F，
∴直线AB的方程为y=k（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则点D的坐标为（x₁，-y₁）．
（1）当k≠0时，∵点B，D在椭圆C上，
∴

x 2 2

2

+

y

2 2

＝1，

x 2 1

2

+(?y1)2＝1…①
∴?

x 2 1 ? x 2 2

2

+(

y

2 1

?

y

2 2

)＝0，依题意知x₁≠x₂，
∴直线BD的斜率kBD＝

y2?(?y1)

x2?x1

＝

1

2

x1+x2

y1?y2

，
则直线BD的方程为y?y2＝

1

2

x1+x2

y1?y2

(x?x2)…②
由①②得，

(x1+x2)x

2

+(y2?y1)y＝

x1x2

2